Teori Probabilitas

  1. Pendahuluan

Probabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 dan dinyatakan dalam desimal (misalnya: 0,65) atau dalam persentase (65%). Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi. Probabilitas satu menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. Maka probabilitas dapat didefinisikan sebagai peluang suatu kejadian.

  1. Manfaat Probabilitas

Mempelajari probabilitas sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan didunia tidak ada kepastian, sehingga diperlukan untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi. Contoh :

  • Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham.
  • Peluang produk yang dihasilkan perusahaan (sukses atau tidak )

Kita lihat pada percobaan statistik pada pelemparan sebuah uang logam, kita tidak tahu dengan pasti hasilnya, apakah yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam tersebut.

Meskipun kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat/tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistic disebut probabilitas atau peluang. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P.

Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal (seperti 0,50 ; 0,25 atau 0,70) atau bilangan pecahan (seperti \large \frac{5}{10}, \frac{25}{100}, atau\, \frac{70}{100}).

Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1 semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

Dalam Probabilitas ada 3 hal yang penting yaitu :

  1. Percobaan (experiment), Percobaan adalah aktivitas atau proses yang menghasilkan suatu peristiwa tanpa memperlihatkan peristiwa mana yang terjadi. Misalnya: kegiatan melempar uang, akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau angka
  2. Hasil (out come). Hasil adalah suatu hasil dari suatu percobaan. Dalam hasil ini akan dicatat atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam sebuah percobaan, misal dalam kegiatan melempar uang muncul gambar atau angka.
  3. Peristiwa (event). Peristiwa adalah hasil yang terjadi dari suatu kejadia

 

  1. Perumusan Probabilitas

Untuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian, maka ada tiga cara yaitu perumusan klasik, perumusan relative dan perumusan subjektif.

  1. Perumusan klasik

Diasumsikan bahwa semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi.

Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).

Bila kejadiian E terjadi dalam n cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuik muncul,maka probabilitas kejadian E yang ditulis P(E) dirumuskan sebagai berikut :

Rumus : \large P(E)=\frac{m}{n} atau \large Probabilitas=\frac{jumlah\, kemungkinan\, hasil(m)}{jumlah\, total\, kemungkinan\, hasil(n)}

Contoh:

Sebuah uang logam dilemparkan.

Sisi muka kita sebut = m, sisi kedua kita sebut belakang = n. Maka ada dua kejadian yang mungkin terjadi. Yaitu muncul m atau n. kedua sisi itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Maka probabilitas munculnya kejadian m atau n adalah :

\large P=\frac{m}{n}=\frac{1}{2}

Ingat bahwa dalam pelembaparan uang logam tersebut yang muncul hanya 1, m atau n, jadi jika muncul m maka n tidak muncul.

Pada percobaan diatas hanya satu peristiwa yang terjadi dan peristiwa lain tidak mungkin terjadi pada waktu bersamaan, maka dikenal peristiwa saling lepas.

Peristiwa saling lepas adalah terjadinya suatu peristiwa, sehingga yang lain tidak terjadi pada waktu bersamaan.

  1. Perumusan dengan frekuensi relatif

Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi, yang dinyatakan sebagai berikut:

Probabilitas diartikan sebagai:

  • Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stabil. atau
  • Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam jumlah besar percobaan.

Probabilitas empiris dari suatu kejadian dirumuskan dengan memakai frekuensi relative dari terjadinya suatu kejadian dengan syarat banyaknya pengamatan atau banyaknya sampel n adalah sangat besar.

Jika kejadian E terjadi sebanyak f kali dari keseluruhan pengamatan sebanyak n, dimana n mendekati tak berhingga (n→∞), maka probabilita kejadian E dirumuskan sebagai berikut:

\large P(E)=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{f}{n}

Contoh:

Dari kejadian belajar mahasiswa dapat dilihat hasilnya pada wisudah sebuah universitas sebanyak 800 orang mahasiswa. 500 orang lulus dengan memuaskan, 200 orang lulus sangat memuaskan dan 100 orang lulus dengan predikat pujian.

Maka probabilitasnya :

  • Memuaskan :\large P(E)=\frac{500}{800}=0,625
  • Sangat memuaskan :\large P(E)=\frac{200}{800}=0,25
  • Dengan pujian :\large P(E)=\frac{100}{800}=0,125
  1. Perumusan subjektif

Yaitu mnentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi (individu) dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan.

Contoh :

Seorang direktur akan memilih seorang supervisor dari empat orang calon yang telah lulus ujian saringan. Keempat calon tersebut sama pintar, sama lincah, dan semuanya dapat dipercaya. Probabilitas tertinggi(kemungkinan diterima) menjadi supervisor ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.

Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai probabilitas, yaitu sebagai berikut :

Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak).

Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1 ( 0 ≤ P ≤ 1).

  • Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi.
  • Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi.
  • Jika 0 < P < 1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.
  1. Ruang sampel dan kejadian

Pada pelemparan sebuah dadu, ada 6 kemungkinan hasil yang mungkin muncul yaitu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Seluruy himpunan yang mungkin mucul ini dapat ditulis dalam suatu himpunan semesta (S), S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik disebut ruang sampel yang dilambangkan dengan himpunan S, sedangkan anggotanya disebut titik sampel.

Bila pada pelemparan sebuah dadu tersebut yang muncul adalah muka 2, hasil yang muncul ini dinamakan kejadian munculnya muka 2, maka dinyatakan dalam suatu himpunan A = {2}. Akan tetapi bila yang muncul muka 3 maka A = {3}.

Kumpulan (himpunan) dari hasil yang muncul atau terjadi pada percobaan statistic disebut kejadian atau peristiwa yang dilambangkan dengan himpunan A. Begitu juga anggota dari A disebut titik sampel.

Karena S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {2}, sehingga A Í S, A merupakan himpunan bagian dari S. 2 adalah anggota dari A, anggota dari A adalah titik sampel, jadi 2 adalah titik sampel.

Hubungan antara kejadian A dengan ruang sampel S digambarkan sebagai berikut

RS

Keterkaitan antara kejadian A dan ruang sampel S pada konsep probabilitas dengan himpunan bagian A dan himpunan semesta S pada teori himpunan yaitu :

Konsep Probabilitas                                 Teori Himpunan

Ruang Sampel S                ←—→                Himpunan Semesta S

Kejadian A                          ←—→               Himpunan bagian A

Titik Sampel                       ←—→               Anggota Himpunan

Berdasarkan kejadian A dan ruang sampel S tersebut, maka perumusan konsep Probabilitas didefiniskan sebagai berikut.

Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang tterjadi dalam n cara, maka probabilitas kejadian A adalah :

\large P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{m}{n}

n(A)           = banyaknya anggota A

n(S)          = banyaknya anggota S

Contoh:

Pada pelemparan dua buah uang logam

  1. Tentukan ruang sampel S!
  2. Bila menyatakan kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari dua uang logam tersebut. Tentukan probabilitas A!

Jawab

Misal m=muka, b=belakang adalah sisi-sisi dari dua uang logam tersebut.

  1. Hasil-hasil yang mungkin muncul ditunjukan pada tabel beriku ini:
Uang logam II
m b
Uang logam I m (m ,m) (m, b)
b (b, m) (b, b)

Jadi ruang sampel S adalah {(m, m), (m, b), (b, m), (b, b)}

  1. A adalah kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari uang logam, maka :

A = {(m, m), (b, b)}

Jadi A = 2, S = 4

\large P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

 

  1. Sifat-Sifat Probabilitas Kejadianya

Dengan pengetahuan kejadian A ruang sample S dan pelung kejadian A pada S yaitu :

\large P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\frac{m}{n}

Sifat 1: 0 < P(A) < 1

Penjelasan sifat ini, A merupakan himpunan dari S yaitu A Í S, maka banyaknya anggota A selalu lebih sedikit dari banyaknya anggota S yaitu n (A) ≤ n (S) sehingga :

0 \large 0<\frac{n(A)}{n(S)}<1\, \, atau\, \, 0<P(A)<1\,…(1)

Sifat 2: dalam hal A =   Æ, himpunan kosong artinya A tidak terjadi pada S, maka n (A) = 0, sehingga:

\large P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{n}{n}=1

Sifat 3: dalam hal A = S maksimum banyaknya anggota A sama dengan banyakny anggota S, maka n (A) = n (S) = n sehingga

bila hasil (1), (2) dan (3) digabung maka diperoleh sifat 0 ≤ P(A) < 1

dalam hal P(A) = 0, dikatakan A kejadian yang mustahil terjadi dan

dalam hal P(A) = 1 dikatakan A kejadian yang pasti terjadi.

Iklan

Silahkan Beri Kesan dan Komentar Anda disini

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s